\input{../preambules/preDM.tex}
\renewcommand{\P}{\mathscr{P}}
\newcommand{\e}{e}
\usepackage{enumitem}

\begin{document}

\chead{Correction Devoir maison n°8}
\lfoot{}
\cfoot{Convergence de suites.}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Devoir maison n°8}
\end{center}

\section*{Exercice I - Obligatoire pour les groupes 9 à 11}

Soit $(u_n)$ la suite d\'efinie par $u_0=0$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$.
\begin{enumerate}
\item On détermine le script scilab 
\begin{verbatim}
n = input("Entrez un nombre entier n")
u = 0
for k = 1:n
    u = sqrt(u+2)
end
disp(u)
\end{verbatim}
\item On montre par récurrence les propriétés suivantes $\P_n : \left\{u_n \; \text{existe et } \; 0 \leq u_n \leq 2 \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 = 0$ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est donc vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc $u_n \geq 0$ et donc $\sqrt{u_n + 2}$ est bien définie. De plus
\begin{align*}
& 0 \leq u_n \leq 2 \\
\Longrightarrow \quad & 0 \leq u_n + 2 \leq 4 \\
\Longrightarrow \quad & 0 \leq \sqrt{u_n + 2} \leq 2 \\
\Longrightarrow \quad & 0 \leq u_{n+1} \leq 2 
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n$ existe et $0 \leq u_n \leq 2$. }\\
	\end{itemize}	
\item On montre par récurrence les propriétés suivantes $\P_n : \left\{u_{n+1} \geq u_n \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_1 = \sqrt{2}$ et $u_0 = 0$. On a alors $u_1 \geq u_0$ et donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est donc vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc
\begin{align*}
& u_{n+1} \geq u_n \\
\Longrightarrow \quad & u_{n+1} + 2 \geq u_n + 2 \\
\Longrightarrow \quad & \sqrt{u_{n+1} + 2} \geq \sqrt{u_n + 2} \\
\Longrightarrow \quad & u_{n+2} \geq u_{n+1}
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{La suite $(u_n)_{n \in \N}$ est croissante. }\\
	\end{itemize}	
\item La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 2. 
\begin{center}
\fbox{Elle est donc convergente. }
\end{center}
On détermine la limite de la suite à l'aide du théorème du point fixe. On note $\ell = \li_{n \to + \infty} u_n$ et on résout
\begin{align*}
\ell = \sqrt{\ell + 2} & \Longleftrightarrow \ell^2 = \ell + 2 \\
& \Longleftrightarrow \ell^2 - \ell -2 = 0
\end{align*}
Le discriminant de cette équation est $\Delta = 1 - 4 \times (-2) = 9$ Il y a alors deux solutions
$$
\ell_1 = \dfrac{1 - 3}{2} = -1 \quad \text{et} \quad \ell_2 = \dfrac{1+3}{2} = 2
$$
Or tous les termes de la suite sont compris entre 0 et $2$ donc 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{n \to + \infty} u_n = 2
$}
\end{center}
\item On donne le script Scilab :
\begin{verbatim}
n = 0
u = 0
while abs(u - 2) > 10^(-6) do
    u = sqrt(u+2) 
    n = n+1
end
disp(n)
\end{verbatim}
\end{enumerate}

\section*{Exercice II - Obligatoire pour les groupes 1 à 8}


Soit $\left( u_{n}\right) _{n\geq 0}$ la suite d\'{e}finie par $u_{0}=1$ et
pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, $u_{n+1}=\ln \left( 1+u_{n}^{2}\right) $%
.\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Script Scilab
\begin{verbatim}
n = input("Entrez un entier n")
u = 1
for k = 1:n
    u = log(1 + u^2)
end
disp(u)
\end{verbatim}

\item
On montre les propriétés suivantes $\P_n : \left\{ 0 \leq u_n \leq 1 \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 = 1$ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est donc vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc 
\begin{align*}
& 0 \leq u_n \leq 1 \\
\Longrightarrow \quad & 0 \leq u_n^2 \leq 1 \\
\Longrightarrow \quad & 1 \leq 1+u_n^2 \leq 2 \\
\Longrightarrow \quad & 0 \leq \ln(1+u_n^2) \leq \ln(2) \leq 1 \\
\Longrightarrow \quad & 0 \leq u_{n+1} \leq 1 \\
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $0 \leq u_n \leq 1$. }\\
	\end{itemize}	

\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle $\left[ 0,1%
\right] $, \`{a} valeurs r\'{e}elles, telle que $f\left( x\right) =\ln
\left( 1+x^{2}\right) -x$.\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $[0,1]$ en tant que composée et somme de fonction dérivable sur $[0,1]$ et 
$$
\forall x \in [0,1], \quad f'(x) = \dfrac{2x}{1+x^2} - 1 = \dfrac{-x^2 + 2x - 1}{1+x^2} = \dfrac{-(1-x)^2}{1+x^2} \leq 0
$$
La fonction $f$ est décroissante. $f(0) = 0$ et $f(1) = \ln(2) - 1$. 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1, Signe de $f'(x)$/1, Variations de $f$/2}{0,1}
\tkzTabLine{,-, }
\tkzTabVar{+/$0$,-/$\ln(2)-1$,}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center} 
On en déduit que 
\begin{center}
\fbox{$
\forall x \in [0,1], \quad f(x) \leq 0
$}
\end{center}
\item On a montré que $\forall n \in \N$, $u_n \in [0,1]$. On a donc
$$
f(u_n) \leq 0 \Longleftrightarrow u_{n+1} - u_n \leq 0
$$

\begin{center}
\fbox{La suite $(u_n)$ est donc décroissante. }
\end{center}

\item La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$. \begin{center}
\fbox{Elle est donc convergente.}
\end{center}
\end{enumerate}


\item \begin{enumerate}
\item On pose la fonction $g : x \to \ln(1+x) - x$. Cette fonction est dérivable sur $\R_+$ et 
$$
\forall x \in \R_+, g'(x) = \dfrac{1}{1+x} - 1 = \dfrac{-x}{1+x} \leq 0
$$
La fonction $g$ est donc décroissante et $g(0) = 0$. Donc $\forall x \in \R_+, g(x) \leq 0$, c'est à dire 
\begin{center}
\fbox{$
\forall x \geq 0, \quad \ln(1+x)\leq x
$}
\end{center}

\item Pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, $u_n^2 >0$ et donc, d'après la question précédente
\begin{center}
 \fbox{$ u_{n+1} = \ln(1+u_n^2) \leq u_n^2$.}
 \end{center} 

\item On montre les propriétés suivantes $\P_n : \left\{  u_n \leq (\ln 2)^n \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 \leq 1$ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est donc vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc 
\begin{align*}
& u_{n+1} \leq  u_n^2 \\
\Longrightarrow \quad &u_{n+1} \leq  (\ln 2)^n \times (\ln 2)^n \\
\Longrightarrow \quad & u_{n+1} \leq (\ln 2)^{n+1} 
\end{align*}
On a utilisé le fait que $ (\ln 2)^n \leq \ln(2)$ pour $n \geq 1$. La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $ u_n \leq (\ln 2)^n$. }\\
	\end{itemize}	

\item  On a pour $n \in \N$, $0 \leq u_n \leq (\ln 2)^n$. Comme $\ln 2 < 1$, $\li_{n \to + \infty} (\ln 2)^n = 0$. Donc d'après le théorème des gendarmes, 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{ n \to + \infty} u_n = 0
$}
\end{center}

\item Programme Scilab
\begin{center}
\fbox{$6$ est le plus petit entier $n$ tel que $|u_n| < 10^{-4}$.  }
\end{center}

\item Soit $n \geq 2$, pour tout $k \in \entier{0,n-1}$, 
\begin{align*}
& u_k \leq (\ln 2)^k \\
\Longrightarrow & \sum_{k=0}^{n-1} u_k \leq \sum_{k=0}^{n-1} (\ln 2)^k \\
\Longrightarrow & \sum_{k=0}^{n-1} u_k \leq \dfrac{1 - (\ln 2)^n}{1 - \ln 2} 
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}  


\section*{Exercice III - Obligatoire pour les groupes 6 à 11}

On considère la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par :
\begin{center}
$u_0 = a$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1} = u_n(2-u_n)$, 
\end{center}
où $a$ est un réel tel que $0 < a <1$. 
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ (polynôme) et
$$
\forall x \in \R,\quad f'(x) = 2 - 2x
$$
On a $2 - 2x > 0 \Longleftrightarrow 1 > x$. Sachant que $\li_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$ et $\li_{\to + \infty} f(x) = - \infty$. D'où le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/1, Variations de $f$/2}{$- \infty$,1,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/1, -/$-\infty$}
\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item \begin{enumerate}
\item On montre les propriétés suivantes $\P_n : \left\{  0 < u_n < 1 \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 = a \in ]0,1[$ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc 
\begin{align*}
& 0 < u_n < 1 \\
\Longrightarrow \; & f(0) < f(u_n) <f(1) \quad \text{(La fonction $f$ est croissante sur $[0,1]$.)}\\
\Longrightarrow \; & 0 < u_{n+1} < 1
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $ 0 < u_n < 1$. }\\
	\end{itemize}	
\item On sait que pour tout entier $n$, $u_n >0$,
$$
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 2 - u_n > 1 
$$ 
car $u_n < 1$. \begin{center}
\fbox{La suite $u_n$ est donc croissante .}
\end{center}
\item La suite est croissante et majorée par $1$. \fbox{Elle est donc convergente} et tend vers une limite $\ell \in \R$. On a nécessairement
$$
f(\ell) = \ell \Longleftrightarrow 2 \ell - \ell^2 = \ell \Longleftrightarrow \ell^2 - \ell = 0
$$ 
Les solutions possibles sont $0$ et $1$. Or, la suite $(u_n)$ est croissante donc 
\begin{center}
 \fbox{$\li_{n \to +\infty} u_n = 1$.}
 \end{center} 
\end{enumerate}
\item On considère la suite numérique $(v_n)_{n \in \N}$ définie sur $\N$ par :
\[ v_n = 1 - u_n \]
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n$, 
\begin{align*}
v_{n+1} &  = 1 - u_{n+1} \\
& = 1 - (2 u_n - u_n^2) \\
& = 1 - 2u_n + u_n^2 \\
& = (1-u_n)^2 
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{Ainsi $\forall n \in \N, \quad v_{n+1} = v_n^2$.}
\end{center}
\item On montre les propriétés suivantes $\P_n : \left\{  v_n = (1-a)^{2^n} \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $v_0 = 1- a $ et $(1-a)^{2^0} = 1-a$ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc 
\begin{align*}
v_{n+1} & = v_n^2 \\
& = \left( (1-a)^{2^n} \right)^2 \\
& = (1-a)^{2^{n+1}}
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $v_n = (1-a)^{2^n}$. }\\
	\end{itemize}	 
\item On a $1-a \in ]0,1[$. $\li_{n \to + \infty} 2^n = +\infty$ et $\li_{X \to + \infty} (1-a)^X = 0$. Donc 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{n \to +\infty} v_n = 0.
$}
\end{center}
Et comme $u_n = 1 - v_n$, on retrouve
\begin{center}
\fbox{$
\li_{n \to +\infty} u_n = 1.
$}
\end{center}
\end{enumerate}
\item On considère le temps de vie d'une machine à café. En sortant de l'usine (au temps $t=0$), la machine à café à une probabilité $a$ d'être cassé ($0 < a < 1$). On notera $A_n$ l'événement "la machine est cassé au temps $t=n$" et $p_n = p(A_n)$. Si la machine est cassé au temps $t= n$ elle reste cassé au temps $t = n+1$. Si la machine est en état de marche au temps $t=n$, elle a la probabilité $p_n$ d'être cassé au temps $t = n+1$. 
\begin{enumerate}
\item Les évènements $A_0$ et $\overline{A_0}$ forment un système complet d'évènements. Donc, d'après la formule des probabilités totales.
\begin{align*}
p_1 = p(A_1) & = p(A_0) p_{A_0}(A_1) + P(\overline{A_0}) P_{\overline{A_0}} (A_1) \\
& = a \times 1 + (1-a) p_0 \\
& = a + (1-a) a \\
& = 2a - a^2 
\end{align*}
\begin{center}
 \fbox{On conclut que $p_1 = a(2-a)$.}
 \end{center} 
\item  Les évènements $A_0$ et $\overline{A_0}$ forment un système complet d'évènements. Donc, d'après la formule des probabilités totales.
 \begin{align*}
p_{n+1} = p(A_{n+1}) & = p(A_n) p_{A_n}(A_{n+1}) + P(\overline{A_n}) P_{\overline{A_n}} (A_{n+1}) \\
& = p_n \times 1 + (1-p_n) p_n \\
& = p_n ( 2 - p_n)
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{Pour tout $n \in \N$, $p_{n+1} = p_n (2-p_n)$.}
\end{center}
\item La suite $(p_n)$ est la même que la suite $u_n$ de la première partie. On a donc 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{n \to +\infty} p_n = 1.
$}
\end{center}
Cela signifie que sur le long terme, la machine à café finira par être cassé (ce qui est logique finalement).
\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\section*{Exercice IV - Obligatoire pour le groupe 1 à 5}

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ avec $n \ge 3$, on pose $f_n(x)=x^n+1-nx.$
\begin{enumerate}
\item Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \ge 3$, la fonction $f_n$ est dérivable sur $\R$ (car c'est une fonction polynomiale). On calcule pour tout $x$ réel
$$
f_n'(x) = nx^{n-1} -n  = n(x^{n-1} - 1)
$$
Or pour $x \in [0,1]$, on a $0 \leq x^{n-1} \leq 1$ et donc $f_n'(x) > 0$. 
\begin{center}
\fbox{La fonction $f_n$ est strictement décroissante sur $[0;1]$.}
\end{center}
\item On a $f_n(0) = 1 >0$ et $f_n(1) = 2 - n < 0$ et donc:
\begin{itemize}
\item La fonction $f_n$ est continue sur $\R$ (c'est une fonction polynômiale)
\item La fonction $f_n$ est strictement décroissante sur $[0;1]$. 
\item $f_n(0) >0$ et $f_n(1) < 0$. 
\end{itemize} 
Donc, d'après le théorème de la bijection, 
\begin{center}
\fbox{l'équation $x^n +1 -nx =0$ admet une unique solution sur $[0,1]$ notée $x_n$.}
\end{center}
\item On calcule d'une part
$$
f_n \left( \dfrac{2}{n} \right) = \left( \dfrac{2}{n} \right)^n +1 - n \times \dfrac{2}{n} = \left( \dfrac{2}{n} \right)^n + 1 - 2 = \left( \dfrac{2}{n} \right)^n  - 1 < 0
$$
En effet comme $n \geq 3$, alors $\dfrac{2}{n} \leq 1$ et donc $\left( \dfrac{2}{n} \right)^n < 1$. D'autre part,
$$
f_n \left( \dfrac{1}{n} \right) = \left( \dfrac{1}{n} \right)^n +1 - n \times \dfrac{1}{n} = \left( \dfrac{1}{n} \right)^n > 0
$$
Ainsi, on a bien
\begin{center}
 \fbox{$\displaystyle{f_n\left(\frac 2 n\right) < f_n(x_n) < f_n\left(\frac 1 n \right)}$}
 \end{center} 
La fonction $f_n$ étant bijective sur $[0,1]$, elle admet une fonction réciproque strictement décroissante. Ainsi,
\begin{align*}
\displaystyle{f_n\left(\frac 2 n\right) < f_n(x_n) < f_n\left(\frac 1 n \right)} & \Longleftrightarrow \displaystyle{f_n^{-1}(f_n\left(\frac 2 n\right)) > f_n^{-1}(f_n(x_n)) > f_n^{-1}(f_n\left(\frac 1 n \right))} \\
& \Longleftrightarrow \boxed{\displaystyle{\frac 1 n < x_n < \frac 2 n}\cdot}
\end{align*} 
On sait que 
$$
\li_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0, \quad \li_{n \to +\infty} \dfrac{2}{n} = 0
$$
Ainsi, en appliquant le théorème des gendarmes (cf cours sur les suites), on a 
\begin{center}
\fbox{$
\li_{n \to +\infty} x_n = 0
$}
\end{center}
\item Par définition, $f_n(x_n) = 0$ et donc 
$$
(x_n)^n +1 - nx_n = 0 \Longleftrightarrow nx_n = (x_n)^n +1
$$
Or $x_n \in [0;1]$ et $x_n \neq 1$ donc $x_n \in [0,1[$. On a alors (cf cours sur les suites)
$$
\li_{n \to +\infty} (x_n)^n = 0
$$
Et ainsi, 
\begin{center}
\fbox{$\li_{n \to +\infty} nx_n = 1$.}
\end{center}
\item On étudie le signe de 
\begin{align*}
f_{n+1}(x) - f_n(x) & = x^{n+1} +1 - (n+1)x - x^n -1 +nx \\
& = x^{n+1} - x^n - x \\
& = x(x^n - x^{n-1} - 1) \\
& = x (x^{n-1}(x-1) - 1)
\end{align*}
Or pour $x \in [0,1]$ on a $x >0$, $x^{n-1} >0$ et $x-1 \leq 0$. Donc $x^{n-1}(x-1) \leq 0$ et par conséquent $(x^{n-1}(x-1) - 1) < 0$. 
donc pour tout $x \in [0,1]$ et tout $n \geq 3$, 
\begin{center}
\fbox{$
f_{n+1}(x) - f_n(x) \leq 0
$}
\end{center}
On a notamment 
\begin{align*}
f_{n+1}(x_{n+1}) - f_n(x_{n+1}) \leq 0 & \Longleftrightarrow f_{n+1} (x_{n+1}) \leq f_n(x_{n+1}) \\
& \Longleftrightarrow 0 \leq f_n(x_{n+1}) \\
& \Longleftrightarrow f_n(x_n) \leq f_n(x_{n+1})
\end{align*}
En effet, on utilise la définition de $x_n$. La fonction $f_n$ étant de plus bijective sur $[0;1]$ et sa réciproque étant strictement décroissante, on obtient :
\begin{align*}
f_n(x_n) \leq f_n(x_{n+1}) \Longleftrightarrow x_n \geq x_{n+1}
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{La suite $(x_n)_{n \ge 3}$ est décroissante. }
\end{center}

\end{enumerate}

\section*{Exercice V - Obligatoire pour le groupe 1}

Montrer que les deux suites $(u_n)_{n \geq 1}$ et $(v_n)_{n \geq 1}$ o\`u pour tout $n \geq 1$,
\[ u_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \text{et } v_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} + \frac{1}{n n!} \]
sont adjacentes. On admet que ces deux suites convergent vers $e$. 
Comment obtenir une approximation de $e$ \`a $10^{-3}$ pr\`es à l'aide de Scilab?

On montre que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est croissante. C'est en effet une somme de terme positifs:

$$
u_{n+1} - u_n  = \dfrac{1}{(n+1)!} > 0
$$

On vérifie alors que la suite $(v_n)_{n \in \N}$ est décroissante. Pour tout $n \geq 1$, 
\begin{align*}
v_{n+1}  - v_n & = \sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{k!} + \frac{1}{(n+1) (n+1)!} - \left(\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} + \frac{1}{n n!} \right) \\ 
& = \sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{k!} - \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} + \frac{1}{(n+1) (n+1)!} - \frac{1}{n n!} \\
& = \dfrac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1) (n+1)!} - \frac{(n+1)^2}{(n+1) (n+1)!}\\
& = \dfrac{n+1}{(n+1)(n+1)! } - \frac{n^2 +2n }{(n+1) (n+1)!} \\
& = - \frac{n^2 +n -1 }{(n+1) (n+1)!}
\end{align*}
Or $n \geq 1$ donc $n^2 + n - 1 \geq 0$ et 
$$
v_{n+1} - v_n \leq 0
$$
La suite $(v_n)$ est décroissante. Finalement, 
$$
v_n - u_n = \dfrac{1}{n n!} 
$$
et donc 
$$
\li_{n \to + \infty} v_n - u_n =  \li_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n n!} = 0
$$
\begin{center}
 \fbox{Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont donc adjacentes.}
 \end{center} 

Programme Scilab :

\begin{verbatim}
u = 0
k = 0
while abs(u - exp(1)) <= 10^(-3) do
    u = u + 1/(factorial(k))
    k = k + 1
end
disp(u)
\end{verbatim}

\end{document}